جواب کاردرکلاس صفحه 105 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 105 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین در مورد مفاهیم **آهنگ متوسط تغییر (Average Rate of Change)** و **آهنگ لحظه‌ای تغییر (Instantaneous Rate of Change)** است که به ترتیب معادل **شیب خط قاطع** و **شیب خط مماس** هستند. 🚀 **توجه:** چون نمودار اصلی ارائه نشده است، برای حل قسمت الف و ب، از مقادیر فرضی (اما واقع‌بینانه) متناسب با یک منحنی رشد استاندارد استفاده می‌کنیم و یا فقط بر اساس تحلیل نموداری پاسخ می‌دهیم. فرض می‌کنیم در نمودار $f(0) \approx 50$ و $f(25) \approx 85$. --- ## الف) آهنگ متوسط رشد در بازه $[0, 25]$ **آهنگ متوسط تغییر** برابر است با شیب خط قاطع بین دو نقطه. $$\text{آهنگ متوسط} = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}$$ فرض می‌کنیم از نمودار زیر خوانده شده باشد: * $t_1 = 0 \implies f(0) = 50 \text{ سانتی‌متر}$ * $t_2 = 25 \implies f(25) = 85 \text{ سانتی‌متر}$ $$\text{آهنگ متوسط} = \frac{f(25) - f(0)}{25 - 0} = \frac{85 - 50}{25} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5} = 1.4$$ **پاسخ الف:** آهنگ متوسط رشد در این بازه $\mathbf{1.4 \text{ سانتی‌متر بر ماه}}$ است. --- ## ب) مقایسه آهنگ لحظه‌ای در 25 و 29 ماهگی **آهنگ لحظه‌ای تغییر** برابر است با مشتق تابع در آن نقطه (شیب خط مماس). * **تحلیل نموداری:** منحنی‌های رشد قد کودک معمولاً مقعر به پایین (Concave Down) هستند. این یعنی شیب (نرخ رشد) به مرور زمان **کاهش** می‌یابد. 1. **25 ماهگی:** خط مماس در $t=25$ دارای شیب مثبت (اما خوابیده) است. 2. **29 ماهگی:** چون 29 ماهگی بعد از 25 ماهگی است، نمودار خوابیده‌تر شده و شیب خط مماس در $t=29$ از شیب در $t=25$ **کمتر** است. * **مقایسه:** $f'(25) > f'(29)$ **پاسخ ب:** آهنگ لحظه‌ای تغییر قد کودک در **25 ماهگی** بیشتر است، زیرا نرخ رشد به مرور زمان کاهش می‌یابد (شیب خط مماس تندتر است). --- ## پ) آهنگ متوسط رشد علی و مقایسه با نمودار قد علی در $t_1 = 16$ ماهگی، $f(16) = 80$ سانتی‌متر و در $t_2 = 36$ ماهگی، $f(36) = 95$ سانتی‌متر است. 1. **محاسبه آهنگ متوسط رشد علی:** $$\text{آهنگ متوسط} = \frac{f(36) - f(16)}{36 - 16} = \frac{95 - 80}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0.75$$ 2. **مقایسه با نمودار (فرض شده):** * آهنگ متوسط علی: $0.75$ سانتی‌متر بر ماه. * آهنگ متوسط نمودار (بخش الف): $1.4$ سانتی‌متر بر ماه (در $[0, 25]$). * **تحلیل:** آهنگ متوسط رشد علی (0.75) در بازه $[16, 36]$ نسبت به آهنگ متوسط فرض شده در نمودار (1.4 در $[0, 25]$) **کمتر** است. این با روند طبیعی رشد (کاهش نرخ رشد با افزایش سن) سازگار است. **پاسخ پ:** آهنگ متوسط رشد علی در بازه $[16, 36]$ برابر $\mathbf{0.75 \text{ سانتی‌متر بر ماه}}$ است. این آهنگ متوسط از آهنگ متوسط $[0, 25]$ نمودار **کمتر** است، که نشان‌دهنده کاهش نرخ رشد در سنین بالاتر است.